纳维-斯托克斯方程光滑性

从血管里的血流到飞机机翼上的气流，全都由纳维-斯托克斯方程描述——它写下来已经快两百年，工程师天天在用。但一个地基级问题至今未决：从光滑的初始状态出发，三维流体会不会在有限时间内自发产生无穷大（「爆破」）？这不只是数学洁癖：它直接关系到这个方程作为物理模型是否自洽，也是理解湍流——经典物理最后的未解大谜题——的数学门户。克雷千禧七题之一。

卡在「超临界性」：随着观察尺度变小，方程的非线性项越来越强，而人类已知的所有守恒量（能量等）都不足以在小尺度上压住它——现有估计与所需控制之间有本质的量级差距。陶哲轩 2014 年的工作把这层窗户纸捅破：他证明一个「平均化」的纳维-斯托克斯方程确实会爆破，说明只用软性的能量方法必然失败，必须用到方程的精细结构。

陶哲轩（UCLA，平均化方程/爆破机制方向）；Buckmaster–Vicol 等（弱解非唯一性，已发《数学年刊》）；侯一钊团队（Caltech，欧拉方程计算机辅助爆破证明路线）；偏微分方程社区多条构造奇点/反例路线并进。

读偏微分方程与调和分析，研究生进流体方程方向的分析强组。当前最有生产力的切入口有二：一是相关「玩具」方程（欧拉方程、平均化模型）的爆破构造，二是计算机辅助证明——用数值找到候选自相似爆破解再严格验证，这条路线近年在欧拉方程上已有实质突破，是年轻人能直接上手的活跃前沿。